DÉBLAIS ET REMBLAIS

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ALTA MATHEMATICA PRÉSENTE

L’analyse et la synthèse de l’eau, "une des plus belles découvertes du siècle" (Ch. Dupin), et la première oeuvre de Recherche Opérationnelle " (...) partant du problème pratique " des déblais et des remblais ", Monge introduit l’étude des familles de droites à 2 paramètres (congruences) et, portant son attention sur les congruences de normales, définit les lignes de courbure d’une surface et en expose les propriétés essentielles. " R. Taton.

849. Monge, Lavoisier, Condorcet (le M.^is de), et num. al. ; HISTOIRE DE L’ACADÉMIE ROYALE DES SCIENCES. ANNÉE M. DCCLXXXI (1781). Avec les Mémoires de Mathématique & de Physique, pour la même Année, Tirés des Registres de cette Académie. Paris, Imprimerie Royale M. DCCLXXXIV (1784).

Grand in-4 à très larges marges de (5) f, 114, (2), 773 + (1) p, avec un tableau dépliant, p.268, donnant Tarif du pain, et XIX planches hors-texte, gravées par Briceau (planches anatomiques, X à XVII) et Y. le Gouaz (la plus belle, la VII, p.376, représente l’oiseau appelé Pierre) ; très beaux bandeaux et culs-de-lampe. Bel exemplaire, excellent de papier, non-rogné ; reliure d’attente d’époque de papier marbré "à la coquille", plats de carton rigide.

Edition originale. Avec les mémoires de Lavoisier, qui montrent que l'eau n'est pas un corps simple, et en réalise la synthèse. Avec, pour la première fois, un traité de Recherche Opérationnelle (sur la Théorie des Déblais & des Remblais de Monge). Avec les derniers écrits d’Euler et le premier d’une série de mémoires par Condorcet, sur les applications du calcul des probabilités aux sciences humaines.
Where for the first time a work of Operations Research is fully displayed, by Monge.

With the epoch making memoirs by Lavoisier, on analysis and synthesis of water.

With the last work by Euler.

And with the first of a series of tracts by Condorcet, about probabilities applied to real life.

2 500 Euros

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En juin 1783, à Mézières, Monge avait réalisé la première expérience de synthèse de l’eau. Mais, comme Cavendish à la même époque, embarrassé encore de la théorie du phlogistique, il n’avait pas su interpréter correctement ce résultat.
Armé de ses balances, Lavoisier s’employait à détruire la théorie du phlogistique. Déjà, ses expériences sur l’air avaient bien montré toutes les ressources de sa méthode. Il présente ici¹ deux expériences d’analyse et de synthèse de l’eau :

* -Mémoire où l'on prouve par la décomposition de l'Eau, que ce Fluide n'est point une substance simple, p. 269-283, avec une pl. dépl. (VI) daté "Lû le 21 avril 1784".

* -Mémoire dans lequel on a pour objet de prouver que l'Eau n'est point une substance simple, un élément proprement dit, mais qu'elle est susceptible de décomposition & de recomposition, p. 468-494, daté "Lû à la rentrée de la Saint-Martin 1783".

C’est un moment crucial dans le développement de la révolution chimique.

Passant de la vapeur d'eau sur le fer chauffé au rouge, il observe que l'eau se décompose en hydrogène et en oxygène².

Puis dans un ballon de verre, les deux gaz sont réunis et enflammés. Il constate que de l'eau est reformée.

En combinant en une seule ces deux expériences, Lavoisier exécutera sa fameuse démonstration publique lors de trois journées, les 27, 28 février et 1er mars 1785, donnant lieu à un grand événement mondain, "une des plus belles expériences de l’histoire des sciences" (M. Daumas).
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1 avec J.-B. Meusnier (1754-1793), ancien élève de Monge à Mézières.
2 Première étape dans ce qui deviendra la nouvelle nomenclature, c'est ici p. 474, que Lavoisier invente la terminologie "principe oxygine" pour ce qui était dénommé auparavant "air vital".

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Le mémoire de Monge sur la Théorie des Déblais & des Remblais (p. 666-704) est le premier exemple de traitement d’un problème pratique par une méthode de recherche opérationnelle. Monge se propose de minimiser le coût du transport de matériaux d’un endroit à un autre.
" (Les recherches de Monge sur la génération des surfaces l’ont conduit à de nombreuses applications). C’est en traitant une de ces applications que Monge a donné sa théorie de la courbure des surfaces ; on la trouve exposée pour la première fois dans le Mémoire sur les déblais et remblais publié dans les mémoires de l’académie des sciences de Paris, pour l’année 1781. Monge y fait voir que les routes suivies pour aller du déblai au remblai étant supposées rectilignes, elles sont les normales d’une surface unique ; il part de là pour décomposer le faisceau de ces normales en grouppes de surfaces développables qui ont pour arêtes de rebroussement, les lignes, lieux des centres de courbure de la surface indiquée, et qui tracent autant de lignes de courbure sur cette surface, limite la plus avantageuse du déblai ou du remblai supposés indéfinis d’un côté seulement. " Charles Dupin, Essai historique sur les services et les travaux scientifiques de Gaspard Monge. Paris, Bachelier 1819, p. 230.

Il convient de mentionner parmi ceux des rares pionniers qui suivirent Monge, les travaux de Ch. Dupin, P. Appell et A. de Saint-Germain³.
Ensuite, la littérature concernant ce problème est devenue considérable, depuis que L. V. Kantorovich en montra une série d’applications économiques⁴, et que G. B. Dantzig en fit la plus brillante illustration de sa méthode algorithmique de programmation linéaire⁵ ; Dantzig fut suivi dans cette voie par H.W. Kuhn et A. Tucker. Puis, L.R. Ford et D.R. Fulkerson en traitèrent par la théorie des graphes.

Plus récemment, Brenier⁶ reliait le problème des transports à la métrique des espaces de probabilité et à la stabilité des systèmes stochastiques, ouvrant le champ d’application à des domaines très divers, de la mécanique des fluides aux plus époustouflantes spéculations de la cosmologie⁷.
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3 A. de Saint-Germain, Etude sur le problème des déblais et des remblais. Mémoires de l'Académie des Sciences, Arts et Belles-Lettres de Caen (1886).
4 L.V. Kantorovich, O peremeshchenii mass [en russe], Doklady Akademii Nauk SSSR 37:7-8 (1942) 227-230 [Traduction anglaise : On the translocation of masses, Comptes Rendus (Doklady) de l'Académie des Sciences de l'U.R.S.S. 37 (1942) 199-201]. Voir aussi : L.V. Kantorovich, On a problem of Monge. Uspekhi Mat. Nauk., 3 (1948), 225-226.
5 G.B. Dantzig, Application of the simplex method to a transportation problem, in: Activity Analysis of Production and Allocation &emdash; Proceedings Conference on Linear Programming, Chicago, Illinois, 1949; (Tj.C. Koopmans, ed. 1951).
6 Yann Brenier, Décomposition polaire et réarrangement monotone des champs de vecteurs, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 305 (1987), no. 19, p. 805-808.
7 "A reconstruction of the initial conditions of the Universe by optimal mass transportation" by Uriel Frisch, Sabino Matarrese, Roya Mohayaee, and Andrei Sobolevski. Nature, vol. 417. p. 260-262. May 16, 2002.

Monge s’appuie sur le raisonnement suivant, en supposant le problème plan, à deux dimensions :
"Lorsque le transport du déblai se fait de manière que la somme des produits des molécules par l’espace parcouru est un minimum, les routes de deux points quelconques A & B, ne doive pas se couper entre leurs extrémités, car la somme Aa + Bb, des routes qui se coupent, est toujours plus grande que la somme Aa + Bb, de celles qui ne se coupent pas." P. 667.
Puis, plus généralement et de façon plus réaliste, dans le cas de volumes :
"Il suit évidemment (...) & principalement de ce principe, (les routes de deux molécules quelconques ne doivent pas se couper entre leurs extrémités) que pour satisfaire au minimum, toutes les molécules qui se trouvent sur la route d’une autre molécule, doivent suivre la même route que cette dernière" P. 700.

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Le Double crime dans la rue Morgue

René Taton (1915-2004), qui avait consacré sa thèse à l'étude de l'influence exercée par l'enthousiasme de Monge, sur une pléiade de jeunes chercheurs à partir de 1795, décrivait comment ceux-ci, "renversant partiellement le courant purement analytique issu des grandes découvertes du XVIIe siècle, réintroduisirent l'esprit géométrique dans la vie de la science".

De la pléiade décrite par Taton, Charles Dupin (1784-1873) s'est particulièrement illustré. Sorti de Polytechnique en 1803 dans le corps des ingénieurs navals, il peut être considéré comme le principal disciple de Monge. Dans son Essai historique sur les services et les travaux scientifiques de Gaspard Monge, Paris, Bachelier 1819, p.267-8, Dupin donne la clef de cette ouverture aux applications de la physique, principalement la mécanique :

" Quoique Monge n'ait pas dirigé ses travaux vers la dynamique, il n'en a pas moins servi très-efficacement cette science par ses théories géométriques. Les esprits habitués à voir distinctement dans l'espace des plans coordonnés des lignes et des surfaces à simples et à double courbure, se former, se couper, se toucher, se plier ou se développer suivant des lois variées, sont devenus des esprits éminemment propres à concevoir et à décrire les phénomènes généraux du mouvement des corps. "

-------------- 1 avec l'aide de quelque 115 ouvriers militaires, selon C. Phili, La reconstruction des mathématiques en Grèce in L'Europe mathématique, Éditions de la Maison des sciences de l'homme, Paris 1996.

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Parlant de Dupin, Chasles se montre particulièrement élogieux : « Tous les résultats principaux des recherches sur lesquelles s'est fixé l'esprit actif de M. Dupin se retrouvent depuis dans les travaux des géomètres. C'est que les conceptions de l'auteur ne se portaient pas sur des questions prises au hasard et sans avenir ; les sentiments du beau et de l'utile et un enthousiasme intelligent pour la science n'ont jamais cessé de l'inspirer. » M. Chasles, Rapport 1870.

Et Taton détaille ainsi les apports principaux de Dupin : "(...) dont les travaux sont rassemblés dans ses Développements de géométrie (1813) et dans ses Applications de géométrie et de mécanique (1822). Après avoir défini et étudié la " cyclide de Dupin " (1801), il entreprit la première étude systématique des systèmes triples orthogonaux. En théorie des surfaces, il introduisit la considération des directions conjuguées et celle de l’indicatrice, représentation simple et commode de la variation des rayons de courbure des sections normales en un point ; il définit également les asymptotiques et appliqua les résultats de géométrie infinitésimale à la construction des routes, à l’étude de la stabilité des vaisseaux et à l’optique."

859. DUPIN (Ch.) ; DÉVELOPPEMENTS DE GÉOMÉTRIE, avec des Applications à la stabilité des Vaisseaux, aux Déblais et Remblais, au Défilement, à l'Optique, etc. pour faire suite à la Géométrie Descriptive et à la Géométrie Analytique de M. Monge. THÉORIE. Paris, Courcier, 1813.

Grand in-4 à belles marges, de xx p (mais sans les p. vij-x de Préface)¹, 373 (mais sans les p. 369-370 de la Table des matières)¹, (1) p, XI planches dépliantes (dessinées par Dupin lui-même, elles sont gravées par Adam). Demi-chagrin noir, plats et gardes marbrés, dos lisse orné, tranches mouchetées, (reliure fin XIX^e un peu tavelée) ; déchirure marginale sans manque p.123. Très bon exemplaire en dépit des manques indiqués.
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1 Les photocopie des pages manquantes sont fournies.

Edition originale de premier tirage (= avant l’erratum sinus-cosinus de p. 90).

500 Euros

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EXPÉDITION

C’est ici la partie théorique de l’ouvrage suivant. On y trouve l’introduction de notions et outils fondamentaux, tangentes conjuguées, indicatrice, permettant une analyse très fine des propriétés de courbures des surfaces. " (Parmi les ouvrages qui, après ceux de Monge et de Carnot, ont servi le plus utilement la science) nous paraissent être :

Les Développements et les Applications de Géométrie, de M. Ch. Dupin, où l’on a vu, pour la première fois, traiter par de pures considérations de Géométrie les questions difficiles de la courbure des surfaces, qui avaient exigé, entre les mains d’Euler et de Monge, toutes les ressources de la plus grande Analyse. "

M. Chasles.

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860. DUPIN (Charles) ; APPLICATIONS DE GÉOMÉTRIE ET DE MÉCHANIQUE, A LA MARINE, AUX PONTS ET CHAUSSÉES, etc, pour faire suite AUX DÉVELOPPEMENTS DE GÉOMÉTRIE. Paris, Bachelier, 1822.

Grand in-4 à belles marges, de xxxv, (i), 330 p, XVII planches dépliantes (dessinées par Dupin lui-même, elles sont gravées par Adam). Pleine basane racinée, dos lisse orné, tranches mouchetées, (reliure de l’époque) ; coiffes et charnières restaurées, coins émoussés, quelques rousseurs ponctuelles en marge, sinon très bon exemplaire.
Edition originale.
1 200 Euros
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Très concerné par la marine, Dupin effectuait des voyages d’étude en Angleterre, voyages officiellement désavoués par les autorités françaises, mais activement soutenus par Laplace. Il s’agissait d’étudier en particulier "les perfectionnements que les Anglais ont introduits dans la structure de leurs vaisseaux." Le résultat de cette enquête est son Examen théorique de la structure des vaisseaux anglais (p. 246-306)². Il s’emploie principalement à analyser le système à charpente oblique de l’ingénieur naval Seppings, qui réussit "de la manière la plus positive" à "donner à la charpente des vaisseaux une force nouvelle".
De la stabilité des corps flottants (p. 1-74) est un texte fondamental et qui fait date dans l’histoire des ouvrages théoriques sur les vaisseaux. Dupin met en application les notions d’analyse des surfaces (indicatrice, tangentes conjuguées etc.), qu’il avait élaborés dans ses Développements de Géométrie (1813), et développe ainsi une méthodologie propre à l’étude de l’équilibre des corps flottants.

Du tracé des routes isolées (p. 75-126) introduit à son étude Sur le tracé des routes, dans les déblais et remblais (p. 127-177), qui est la reprise plus élaborée du travail de Monge sur le même sujet.
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2 Inséré dans les Transactions Philosophiques pour l'année 1817, il est publié ici "plus correct et et plus complet" comme Dupin l'indique dans son introduction, en note de p. xix.
" On³ a poussé plus loin cette application, en supposant que les routes, au lieu d’être rectilignes, fussent assujetties à suivre les inflexions du terrain de forme quelconque, ce qui est le cas de la nature. On a traité la question de la rencontre des routes dans l’intérieur des déblais et des remblais, questions sur laquelle Monge s’était trompé. Ces considérations ont conduit par extension à des théorèmes généraux d’optique mathématique. " Charles Dupin, Essai historique sur les services et les travaux scientifiques de Gaspard Monge. Paris, Bachelier 1819, p. 231.
Sur la courbe régulatrice des routes et de leurs pentes (p. 178-186) est un supplément aux deux mémoires précédents concernant le tracé des routes.
Dans son traitement des Routes de la lumière (p. 187-245), Dupin applique sa théorie des tangentes conjuguées à l’optique géométrique, ce qui le conduit à généraliser à un nombre quelconque d’incidences, le théorème de Malus⁴ sur l’invariance de la congruence d’un faisceau lumineux après réflexion et réfraction⁵.
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3 Ici, Dupin parle de ses propres travaux sur les déblais et les remblais.
4 Donné au Journal de l'École polytechnique, 14ème cahier, t. VII, avril 1808.
5 Nos petits-neveux connaissent aujourd'hui ce résultat sous l'intitulé de Théorème de Malus-Dupin.

" Malus (...) a démontré que, si les rayons incidents partent d’un point unique, le faisceau des rayons réfléchis ou rétractés une première fois par une surface quelconque est toujours décomposable en deux systèmes de surfaces développables. Il croyait avoir prouvé que cette belle propriété ne pouvait plus avoir lieu, généralement, pour une seconde réflexion ni une seconde réfraction. Depuis l’époque où il a publié son travail, on⁶ a démontré que, quelles que soient les formes des surfaces réfléchissantes ou réfractantes, dès qu’un premier faisceau se compose de surfaces développables orthogonales, la même propriété se conserve dans toutes les réflexions et dans toutes les réfractions subséquentes. " Dupin, ibid. p. 253.
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6. c'est-à-dire, Dupin lui-même.

Il introduit aussi la théorie complète de ses fameuses cyclides :
« On trouve dans ce mémoire la théorie complète des surfaces cyclides. L'auteur appelle ainsi les surfaces dont toutes les lignes de courbure sont des cercles. Il prouve que, outre la sphère, le cône et le cylindre de révolution, il existe une autre surface cyclide, qui est l'enveloppe des sphères tangentes à trois autres. » M. Chasles, Rapport 1870.

Polak, Bibliographie maritime française, 2959.

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L’exemplaire d’Emile Picard

864. APPELL ; Mémoire sur les déblais et les remblais des systèmes continus ou discontinus. Paris, Imprimerie Nationale, m dccc lxxxvi (1886). Grand in-4 broché imprimé à très grandes marges de 208 p ; très élégante plaquette (reliure moderne), bradel de toile grise, très beau papier ; le premier plat de brochage a été conservé, et il possède un bien intéressant ex-dono authoris "A mon ami Picard, Hommage cordial".

Edition originale. Extrait TIRÉ-À-PART du Tome XXIX des Mémoires présentés par divers Savants à l'Académie des Sciences de l'Institut de France. Ce mémoire avait remporté en 1884, le Prix Bordin de l’Académie des sciences.

350 Euros

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Ancien étudiant de l’Ecole normale supérieure, professeur de mécanique rationnelle à la Faculté des Sciences de Paris (1885) et membre de l’Académie des Sciences (1892), Paul Appell (1855-1930) avait épousé la fille de l’archéologue Alex. Bertrand, cousine d'Emile Picard (1856-1941), nièce de Joseph Bertrand et de Charles Hermite. Picard était aussi le gendre de Charles Hermite. Puis (mais ce n’est pas la fin de l’endogamie dans l’Ecole française de mathématiques–voir le cas de Schwartz, notre n° 870), une des filles d'Appell devint Madame Emile Borel !
Le problème des déblais et des remblais est non seulement un grand classique de la Recherche Opérationnelle, mais il est aussi le plus ancien, et c’est Monge qui en traita le premier. Puis, son élève et disciple Dupin en fit une très brillante analyse. La question fut ensuite complètement délaissée, jusqu’à ce qu’Appell en reprenne l’examen, à l’occasion du concours pour le prix Bordin de Géométrie. Le sujet du concours avait été annoncé lors de la séance publique de l’académie des sciences du lundi 5 mai 1884, et l’Académie proposait "pour sujet de prix, soit l’étude générale (du) problème des déblais et remblais, soit la solution dans un cas simple choisi par l’auteur", avec cette proposition alléchante :
" Le prix sera une médaille de la valeur de trois mille francs. "
Les commissaires étaient MM. Hermite, Jordan, Bertrand, O. Bonnet, et Darboux était rapporteur.

Mais en séance du 23 février 1885, on annonça que les mémoires reçus pour concourir ne traitaient pas la question "d’une manière assez complète pour qu’il y ait lieu de décerner dès à présent le prix". Le concours fut prorogé d’une année. Enfin, le 21 décembre 1885, le prix fut attribué, mais partagé entre deux auteurs. Appell reçut les deux tiers du prix, tandis que Otto Ohnesorge se vit attribuer le reliquat. Une mention spéciale était faite du mémoire de A. de Saint-Germain.

Appell donnait pour la première fois une solution satisfaisant du cas des volumes. En effet, si Monge avait traité convenablement du problème plan, le cas de volumes restait problématique :
" (Monge avait) fait connaître la proposition suivante, qui est la pierre angulaire de cette théorie :
les routes de transport doivent servir chacune à une infinité de parcelles, et elles sont nécessairement normales à une famille de surfaces parallèles.

Mais il faut remarquer que les raisonnements par lesquels Monge est conduit à ce beau théorème n’entraînent, en aucune manière, l’adhésion ; ce point essentiel, malgré l’étude nouvelle qui en a été faite par Dupin, attendait encore une démonstration solide et appelait de nouvelles recherches. "
Darboux, séance du 21 décembre 1885, C. R., p.1312.
Le mémoire d’Appell répond à cette attente en faisant un large usage de la méthode des variations.
" Il nous semble nécessaire d’ajouter le nom de P. Appell à ceux de Poincaré, Picard, Hadamard et Painlevé, car ce fut également un mathématicien exceptionnel. " Pierre Dugac.

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